Ensembles finis Exemples

$[\begin{array}{c} 3 & 5 \\ 7 & 12 \end{array}] x = [\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array}]$

Étape 1

Find the inverse of $[\begin{array}{c} 3 & 5 \\ 7 & 12 \end{array}]$ .

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Étape 1.1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Étape 1.2

Find the determinant.

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Étape 1.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 \cdot 12 - 7 \cdot 5$

Étape 1.2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 1.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.2.1.1

Multipliez $3$ par $12$ .

$36 - 7 \cdot 5$

Étape 1.2.2.1.2

Multipliez $- 7$ par $5$ .

$36 - 35$

Étape 1.2.2.2

Soustrayez $35$ de $36$ .

$1$

Étape 1.3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Étape 1.4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{1} [\begin{array}{c} 12 & - 5 \\ - 7 & 3 \end{array}]$

Étape 1.5

Divisez $1$ par $1$ .

$1 [\begin{array}{c} 12 & - 5 \\ - 7 & 3 \end{array}]$

Étape 1.6

Multipliez $1$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} 1 \cdot 12 & 1 \cdot - 5 \\ 1 \cdot - 7 & 1 \cdot 3 \end{array}]$

Étape 1.7

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 1.7.1

Multipliez $12$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 12 & 1 \cdot - 5 \\ 1 \cdot - 7 & 1 \cdot 3 \end{array}]$

Étape 1.7.2

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 12 & - 5 \\ 1 \cdot - 7 & 1 \cdot 3 \end{array}]$

Étape 1.7.3

Multipliez $- 7$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 12 & - 5 \\ - 7 & 1 \cdot 3 \end{array}]$

Étape 1.7.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 12 & - 5 \\ - 7 & 3 \end{array}]$

Étape 2

Multiply both sides by the inverse of $[\begin{array}{c} 3 & 5 \\ 7 & 12 \end{array}]$ .

$[\begin{array}{c} 12 & - 5 \\ - 7 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} 3 & 5 \\ 7 & 12 \end{array}] x = [\begin{array}{c} 12 & - 5 \\ - 7 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array}]$

Étape 3

Simplifiez l’équation.

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Étape 3.1

Multipliez $[\begin{array}{c} 12 & - 5 \\ - 7 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} 3 & 5 \\ 7 & 12 \end{array}]$ .

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Étape 3.1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $2 \times 2$ and the second matrix is $2 \times 2$ .

Étape 3.1.2

Multipliez chaque ligne dans la première matrice par chaque colonne dans la deuxième matrice.

$[\begin{array}{c} 12 \cdot 3 - 5 \cdot 7 & 12 \cdot 5 - 5 \cdot 12 \\ - 7 \cdot 3 + 3 \cdot 7 & - 7 \cdot 5 + 3 \cdot 12 \end{array}] x = [\begin{array}{c} 12 & - 5 \\ - 7 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array}]$

Étape 3.1.3

Simplifiez chaque élément de la matrice en multipliant toutes les expressions.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] x = [\begin{array}{c} 12 & - 5 \\ - 7 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array}]$

Étape 3.2

Multiplying the identity matrix by any matrix $A$ is the matrix $A$ itself.

$x = [\begin{array}{c} 12 & - 5 \\ - 7 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array}]$

Étape 3.3

Multipliez $[\begin{array}{c} 12 & - 5 \\ - 7 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array}]$ .

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Étape 3.3.1

Étape 3.3.2

Multipliez chaque ligne dans la première matrice par chaque colonne dans la deuxième matrice.

$x = [\begin{array}{c} 12 \cdot 2 - 5 \cdot 3 & 12 \cdot - 1 - 5 \cdot 2 \\ - 7 \cdot 2 + 3 \cdot 3 & - 7 \cdot - 1 + 3 \cdot 2 \end{array}]$

Étape 3.3.3

Simplifiez chaque élément de la matrice en multipliant toutes les expressions.

$x = [\begin{array}{c} 9 & - 22 \\ - 5 & 13 \end{array}]$